Question

已知a＞0，設命題p：函數y=a^x在R上單調遞減，q：設函數y=

2x-2a x≥2a 2a x＜2a

對任意的x，恒有y＞1．若p∧q為假，p∨q為真，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：若命題p：“函數y=a^x在R上單調遞減”為真命題，根據指數函數的單調性與底數的關系，易確定滿足條件的a的取值范圍，若命題q：“設函數y=

2x-2a x≥2a 2a x＜2a

對任意的x，恒有y＞1”，易求了滿足條件的a的取值范圍，又由p∧q為假，p∨q為真，可以判斷出命題p與命題q中一個為真一個為假，分類討論求出對應的a的取值范圍，綜合討論結果，即可得到a的取值范圍．

解答：解：若p是真命題，則0＜a＜1…（2分）
若q是真命題，則函數y＞1恒成立，即函數y的最小值大于1，而函數y的最小值為2a，
只需2a＞1∴a＞

1

2

∴q為真命題時，a＞

1

2

…（6分）
又∵p∧q為假，p∨q為真∴p與q一真一假       …（8分）
若p真q假，則0＜a≤

1

2

；若p假q真，則a≥1…（10分）
故a的取值范圍為0＜a≤

1

2

或a≥1…（12分）

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，其中求出命題p與命題q為真或假時，a的取值范圍是解答本題的關鍵．