Question

已知a＞0，設(shè)命題p：函數(shù)y=a^x在R上單調(diào)遞減，q：不等式x+|x-2a|＞1的解集為R，若p和q中有且只有一個命題為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：先通過指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出p為真命題的a的范圍，再通過構(gòu)造函數(shù)求絕對值函數(shù)的最值進一步求出命題q為真命題的a的范圍，分p真q假與p假q真兩類求出a的范圍即可．

解答：解  由函數(shù)y=a^x在R上單調(diào)遞減知0＜a＜1，
所以命題p為真命題時a的取值范圍是0＜a＜1，
令y=x+|x-2a|，
則y=

2x-2a       (x≥2a) 2a              (x＜2a).

不等式x+|x-2a|＞1的解集為R，
只要y_min＞1即可，
而函數(shù)y在R上的最小值為2a，
所以2a＞1，
即a＞

1

2

．
即q真?a＞

1

2

．
若p真q假，則0＜a≤

1

2

；
若p假q真，則a≥1，
所以命題p和q有且只有一個命題正確時a的取值范圍是0＜a≤

1

2

或a≥1．

點評：解決復(fù)合命題的真假問題一般通過真值表將復(fù)合命題的真假問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)成它的簡單命題的真假來解決．