Question

【題目】如圖為一個(gè)纜車(chē)示意圖，該纜車(chē)半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m,60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面距離是h.

(1)求h與θ間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)設(shè)從OA開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t秒后到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求纜車(chē)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)用的最少時(shí)間是多少？

Answer 1

【答案】(1)以圓心O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則以Ox為始邊，OB為終邊的角為θ－，

故點(diǎn)B的坐標(biāo)為

(4.8cos，4.8sin)，

∴h＝5.6＋4.8sin.

(2)點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是，故t秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為t，

∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)．

到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，h＝10.4 m.

由sin＝1

得t－＝，

∴t＝30

∴纜車(chē)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，用的時(shí)間最少為30秒

【解析】

（1）建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)后可得h與θ間的函數(shù)關(guān)系式．（2）由t s轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為可得θ與t的關(guān)系，代入（1）中的關(guān)系式可得h與t之間的函數(shù)解析式，然后通過(guò)最值可得所求的最小時(shí)間．

(1)以圓心原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，如下圖所示，

則以為始邊，為終邊的角為，

故點(diǎn)B坐標(biāo)為．

∴．

（2）點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是，故t s轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為，

∴，

∴．

令，

得，

∴，

∴．

令，得t=30 s．

∴纜車(chē)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，用的時(shí)間最少為30 s．