【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為等腰梯形，
，其中點(diǎn)
在以
為直徑的圓上，
，
，
，平面
平面.
（1）證明：
平面.
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）
.
【解析】
（1）連接
，
，根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角，得到
，計(jì)算出
的長(zhǎng)，通過(guò)勾股定理證得
，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到
平面
.（2）
為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以
，
，
的方向?yàn)?/span>
，
，
軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系通過(guò)計(jì)算平面
和平面
的法向量，計(jì)算二面角
的余弦值，進(jìn)而求得其正弦值.
（1）證明：連接，，因?yàn)辄c(diǎn)在以
為直徑的圓上，所以.
因?yàn)?/span>
，所以
，
.
所以
.
因?yàn)?/span>為等腰梯形，
，
所以
.
又因?yàn)?/span>
，
，
所以
，從而得.
又因?yàn)槠矫?/span>
平面，平面
平面
，
所以平面.
（2）解：由（1）易知
，
，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系
，則
，
，
，
.
因?yàn)?/span>
，所以
，
，
，
.
設(shè)平面
的法向量為
，平面
的法向量為
，
由
，得
，令
，得
，
由
，得
，令
，得
，
所以
，所以
，
故二面角的正弦值為.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】網(wǎng)約車(chē)的興起豐富了民眾出行的選擇，為民眾出行提供便利的同時(shí)也解決了很多勞動(dòng)力的就業(yè)問(wèn)題，據(jù)某著名網(wǎng)約車(chē)公司“滴滴打車(chē)”官網(wǎng)顯示，截止目前，該公司已經(jīng)累計(jì)解決退伍軍人轉(zhuǎn)業(yè)為兼職或?qū)Ｂ毸緳C(jī)三百多萬(wàn)人次，梁某即為此類(lèi)網(wǎng)約車(chē)司機(jī)，據(jù)梁某自己統(tǒng)計(jì)某一天出車(chē)一次的總路程數(shù)可能的取值是20、22、24、26、28、
，它們出現(xiàn)的概率依次是
、
、
、、t、
．
（1）求這一天中梁某一次行駛路程X的分布列，并求X的均值和方差；
（2）網(wǎng)約車(chē)計(jì)費(fèi)細(xì)則如下：起步價(jià)為5元，行駛路程不超過(guò)
時(shí)，租車(chē)費(fèi)為5元，若行駛路程超過(guò)，則按每超出
（不足也按計(jì)程）收費(fèi)3元計(jì)費(fèi)．依據(jù)以上條件，計(jì)算梁某一天中出車(chē)一次收入的均值和方差．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F2在坐標(biāo)軸上，離心率為
，且過(guò)點(diǎn)
.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，試求
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
在
處取得極小值
．
（1）求實(shí)數(shù)
的值；
（2）設(shè)
，討論函數(shù)
的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)m，n為平面α外兩條直線，其在平面α內(nèi)的射影分別是兩條直線m1和n1，給出下列4個(gè)命題：①m1∥n1m∥n；②m∥nm1與n1平行或重合；③m1⊥n1m⊥n；④m⊥nm1⊥n1．其中所有假命題的序號(hào)是_____．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，人民生活水平得到很大提高，汽車(chē)已經(jīng)進(jìn)入千千萬(wàn)萬(wàn)的家庭.大部分的車(chē)主在購(gòu)買(mǎi)汽車(chē)時(shí)，會(huì)在轎車(chē)或者
中作出選擇，為了研究某地區(qū)哪種車(chē)型更受歡迎以及汽車(chē)一年內(nèi)的行駛里程，某汽車(chē)銷(xiāo)售經(jīng)理作出如下統(tǒng)計(jì)：
購(gòu)買(mǎi)了轎車(chē)（輛） | 購(gòu)買(mǎi)了 | |
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表
圖
（I）根據(jù)表，是否有
的把握認(rèn)為年齡與購(gòu)買(mǎi)的汽車(chē)車(chē)型有關(guān)？
（II）圖給出的是
名車(chē)主上一年汽車(chē)的行駛里程，求這名車(chē)主上一年汽車(chē)的平均行駛里程（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（III）用表中的頻率估計(jì)概率，隨機(jī)調(diào)查
名
歲以下車(chē)主，設(shè)其中購(gòu)買(mǎi)了轎車(chē)的人數(shù)為
，求
的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附：
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】將
個(gè)不同的紅球和
個(gè)不同的白球，放入同一個(gè)袋中，現(xiàn)從中取出個(gè)球.
（1）若取出的紅球的個(gè)數(shù)不少于白球的個(gè)數(shù)，則有多少種不同的取法；
（2）取出一個(gè)紅球記
分，取出一個(gè)白球記
分，若取出個(gè)球的總分不少于
分，則有多少種不同的取法；
（3）若將取出的個(gè)球放入一箱子中，記“從箱子中任意取出個(gè)球，然后放回箱子中”為一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到個(gè)紅球并且恰有一次取到個(gè)白球的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】△ABC中，A(0,1)，AB邊上的高CD所在直線的方程為x＋2y－4＝0，AC邊上的中線BE所在直線的方程為2x＋y－3＝0.
(1)求直線AB的方程；
(2)求直線BC的方程；
(3)求△BDE的面積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】（2）（本小題滿(mǎn)分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直接坐標(biāo)系
中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為
.
（I）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4，
），判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系；
（II）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值.
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