Question

設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)M(-1,0)、N(1,0)距離之差為2m,到x軸、y軸距離之比為2,求m的取值范圍.

Answer 1

剖析：由|PM|-|PN|=2m,得||PM|-|PN||=2|m|.知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線,由點(diǎn)P到x軸、y軸距離之比為2,知點(diǎn)P的軌跡是直線,由交軌法求得點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而可求得m的取值范圍.

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),依題意得=2,即y=±2x(x≠0).              ①

    因此,點(diǎn)P(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三點(diǎn)不共線,得||PM|-|PN||＜|MN|=2.

    ∵||PM|-|PN||=2|m|＞0,

    ∴0＜|m|＜1.因此,點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2|m|的雙曲線上.

    故-=1.                                                                 ②

    將①代入②,并解得x²=,

    ∵1-m²＞0,∴1-5m²＞0.

    解得0＜|m|＜,

    即m的取值范圍為(-,0)∪(0,).

講評(píng)：本題考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基本知識(shí),考查了邏輯思維能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.解決此題的關(guān)鍵是用好雙曲線的定義.