Question

【題目】已知直線經(jīng)過橢圓（）的左頂點(diǎn)和

上頂點(diǎn)．橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線、與直線

分別交于、兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）求線段長(zhǎng)度的最小值；

（Ⅲ）當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)，使得的面積為．

【解析】

（Ⅰ）令得，所以，所以，令得，所以，所以

，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（Ⅱ）顯然直線的斜率存在且為正數(shù)，設(shè)直線的方程為（），聯(lián)立得

，解得，由得，

顯然，由求根公式得或（舍），所以，從而直線的方程為，聯(lián)立得，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，因此，線段長(zhǎng)度的最小值為；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，時(shí)線段的長(zhǎng)度最小，此時(shí)，，因?yàn)?/span>的面積為，所以點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)橹本�的方程為，設(shè)過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為，由兩平行線之間距離為得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立得，消去得，顯然判別式，故點(diǎn)有個(gè)；當(dāng)時(shí)，直線

的方程為，聯(lián)立得，消去得，顯然判別式，故

點(diǎn)不存在．所以，橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)，使得的面積為．