Question

【題目】已知拋物線C1的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為x＝﹣3，圓C2：（x﹣3）2+y2＝1，過圓心C2的直線l與拋物線C1交于點(diǎn)A，B，l與圓C2交于點(diǎn)M，N，且|AM|＜|AN|，則|AM||BM|的最小值為_____．

Answer 1

【答案】6

【解析】

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點(diǎn)代入拋物線方程，求得拋物線方程，由拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)，求得＝＝，根據(jù)拋物線的定義及基本不等式，即可求得答案．

設(shè)拋物線的方程：y2＝2px（p＞0），由準(zhǔn)線方程x＝﹣3，

可得3，即p＝6，

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x，焦點(diǎn)坐標(biāo)F（3，0），

圓C2：（x﹣3）2+y2＝1的圓心為（3，0），半徑為1，

由直線AB過拋物線的焦點(diǎn)，利用極坐標(biāo)，可設(shè)A（ρ1，θ），B（ρ2，π+θ），

由ρ，可得，

|AM||BM|＝|AF|﹣1（|BF|+1）＝|AF||BF|

＝3（）（|AF||BF|）

＝3（）3（2）6，

當(dāng)且僅當(dāng)|BF|＝2|AF|＝9時取得等號，

則|AM||BM|的最小值為6．