Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.其中為常數(shù).

（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意恒成立 ，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由題意知中，令，求得，即，所以兩式相減整理得，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解．

（2）由（1）可得，利用“裂項(xiàng)”法求得，根據(jù)題設(shè)化簡(jiǎn)得對(duì)任意恒成立，記，分為奇數(shù)和為偶數(shù)討論，求得的最大值，即可求解．

（1）由題意知中，令，得，又，解得，

即，所以，

兩式相減得，整理得，

數(shù)列是以，公比為2的等比數(shù)列，所以．

（2）由（1）可得，

所以，

由對(duì)任意恒成立，

得對(duì)任意恒成立，

記，，

（1）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，

若，則，又，所以.

（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則，

若，為奇數(shù)，則，即，

若，為奇數(shù)，則，即，所以，

綜合（1）（2）知，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.