Question

正態(tài)總體μ=0，σ=1時(shí)的概率密度函數(shù)是f（x）=，x∈R.

（1）證明：f（x）是偶函數(shù)；

（2）利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明f（x）的增減性；

（3）求f（x）的最大值.

Answer 1

（1）證明：設(shè)任意x∈R，

f（－x）===f（x），

∴f（x）是偶函數(shù).

（2）解：令t=－，則f（x）=e^t.

∵f（x）關(guān)于t是增函數(shù)，t=－，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，t關(guān)于x是減函數(shù)；

當(dāng)x∈（－∞，0）時(shí)，t關(guān)于x是增函數(shù).

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，知當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=是減函數(shù)，當(dāng)x∈（－∞，0）時(shí)，f（x）=是增函數(shù).

（3）解：x∈R，x²∈［0，+∞），∴－∈（－∞，0］.又∵y=e^t為增函數(shù)，∴≤e⁰=1.

∴f（x）_max=f（0）=.

點(diǎn)評：對于正態(tài)曲線的簡單性質(zhì)要熟練掌握并且能夠應(yīng)用，尤其是對稱性、最高點(diǎn)的位置、曲線向橫軸左右無限延伸時(shí)逐漸降低等.