Question

已知函數(shù)y=f（n）（n∈N^*_）設(shè)f（1）=2且任意的n₁，n₂∈N^*，有n₁，n₂∈N^*，f（n₁+n₂）=f（n₁）•f（n₂）
（1）求f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）試猜想f（n）的解析式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．

Answer 1

分析：直接利用已知條件求出f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）利用（1）猜想f（n）的解析式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明方法證明即可．

解答：解：（1）f（1）=2，f（n₁+n₂）=f（n₁）•f（n₂）
∴f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=2²=4、
f（3）=f（2+1）=f（2）•f（1）=2²•2=8、
f（4）=f（3+1）=f（3）•f（1）=2³•2=16；
（2）猜想f（n）=2ⁿ，n∈N^*
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時，f（1）=2¹=2∴猜想正確；…（7分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時猜想正確，即f（k）=2^k，k∈N^*
那么當(dāng)n=k+1時，f（k+1）=f（k）f（1）=2^k•2=2^k+1
所以，當(dāng)n=k+1時，猜想正確
由①②知，對n∈N^*，f（n）=2ⁿ，正確．…（13分）

點評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明方法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計算能力．