Question

【題目】如圖，以棱長為1的正方體的具有公共頂點的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系Oxyz，點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動．

(1)當P是AB的中點，且2|CQ|＝|QD|時，求|PQ|的值；

(2)當Q是棱CD的中點時，試求|PQ|的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1) (2) 點P的坐標為(), 最小值為.

【解析】

(1)根據(jù)正方體的性質可得的坐標，由兩點間的距離公式計算可得結果；(2)根據(jù)題意，設點的橫坐標為,得＝．由，可得＝＝，可得的坐標為，進而可以用表示的長，結合二次函數(shù)的性質分析可得結果.

(1)因為正方體的棱長為1，P是AB的中點，所以P().

因為2|CQ|＝|QD|，所以|CQ|＝，所以Q(0,1,).

由兩點間的距離公式得：

|PQ|＝＝.

(2)如圖，過點P作PE⊥OA于點E，則PE垂直于坐標平面xOy.

設點P的橫坐標為x，則由正方體的性質可得點P的縱坐標也為x.

由正方體的棱長為1，得|AE|＝ (1－x)．

因為，

所以|PE|＝＝1－x，

所以P(x，x,1－x)．

又因為Q(0,1,)，

所以|PQ|＝

所以當x＝時，|PQ|min＝，即當點P的坐標為()，

即P為AB的中點時，|PQ|的值最小，最小值為.