Question

【題目】把圓分成個(gè)扇形，設(shè)用4種顏色給這些扇形染色，每個(gè)扇形恰染一種顏色，并且要求相鄰扇形的顏色互不相同，設(shè)共有種方法.

(1)寫出，的值；

(2)猜想 ，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】分析：（1）根據(jù)題意，得；

（2）分析可得 ，用用數(shù)學(xué)歸納法證明即可

詳解：

（1）

（2）．當(dāng)時(shí)，首先，對(duì)于第1個(gè)扇形，有4種不同的染法，由于第2個(gè)扇形的顏色與的顏色不同，所以，對(duì)于有3種不同的染法，類似地，對(duì)扇形，…，均有3種染法．對(duì)于扇形，用與不同的3種顏色染色，但是，這樣也包括了它與扇形顏色相同的情況，而扇形與扇形顏色相同的不同染色方法數(shù)就是，于是可得

猜想

當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，所以等式成立

假設(shè)時(shí)，，

則時(shí)，

即時(shí)，等式也成立

綜上