Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)圖象上不重合的兩點(diǎn).證明：.（是直線的斜率）

Answer 1

【答案】（1）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明見解析

【解析】

（1）先由題意，得到函數(shù)定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別討論和兩種情況，解對(duì)應(yīng)的不等式，即可得出其單調(diào)性；

（2）根據(jù)斜率公式，由題意，得到，再由，將證明的問題轉(zhuǎn)化為證明，令，即證時(shí)，成立，設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法求其范圍，即可得出結(jié)果.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

且

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，令可得或（舍），，

由得，由得，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）由題意得，

所以

又，

要證成立，

即證：成立，

即證：成立.

令，即證時(shí)，成立.

設(shè)

則

所以函數(shù)在上是增函數(shù)，

所以，都有，

即，，

所以