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        1. 【題目】己知函數(shù) .

          (1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

          (2)若函數(shù)有兩個零點,,求的取值范圍,并證明.

          【答案】(1)見解析;(2)見證明

          【解析】

          1)函數(shù)fx)的定義域為(0,+∞),f′(x,x0,利用分類討論思想,結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論函數(shù)fx)的單調(diào)性.

          2)先求k的取值范圍是,再證明f(﹣2k)=ln(﹣2k0.然后證明x1+x22,即證(1)(1+t2<﹣8lnt,即證8lnt+)(1+t20,(t0).設(shè)ht)=8lnt+)(1+t2,t1.則ht)=8lntt22t,t1.由此能證明x1+x22

          (1)解:因為,函數(shù)的定義域為,

          所以

          時,,

          所以函數(shù)上單調(diào)遞增.

          時,由,得(負根舍去),

          時,,當時,,

          所以函數(shù)上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增.

          綜上所述,當時,函數(shù)上單調(diào)遞增;當時,函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

          (2)先求的取值范圍:

          方法1:由(1)知,當時,上單調(diào)遞增,不可能有兩個零點,不滿足條件.

          時,函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

          所以,

          要使函數(shù)有兩個零點,首先,解得

          因為,且,

          下面證明

          設(shè),則

          因為,所以

          所以上單調(diào)遞增,

          所以

          所以的取值范圍是

          方法2:由,得到

          設(shè),則

          時,,當時,,

          所以函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

          所以由

          因為時,,且,

          要使函數(shù)有兩個零點,必有

          所以的取值范圍是

          再證明

          方法1:因為,是函數(shù)的兩個零點,不妨設(shè),令,則

          所以

          所以,即,

          要證,即證

          即證,即證

          因為,所以即證,

          或證

          設(shè),

          所以

          所以上單調(diào)遞減,

          所以

          所以

          方法2:因為是函數(shù)有兩個零點,不妨設(shè),令,則

          所以

          所以,即,,

          要證,需證

          即證,即證

          因為,所以即證

          設(shè)

          ,

          所以上單調(diào)遞減,

          所以

          所以

          方法3:因為,是函數(shù)有兩個零點,不妨設(shè),令,則

          所以

          要證,需證

          只需證

          即證,即證

          即證

          因為,所以,即

          所以

          ,

          所以成立.

          所以

          方法4:因為是函數(shù)有兩個零點,不妨設(shè),令,則

          由已知得

          先證明,即證明

          設(shè),則

          所以上單調(diào)遞增,所以,所證不等式成立.

          所以有

          因為),

          所以,即

          所以

          方法5:要證,其中 , ,

          即證

          利用函數(shù)的單調(diào)性,只需證明

          因為,所以只要證明,其中

          構(gòu)造函數(shù)

          因為

          (利用均值不等式)

          ,

          所以

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,四棱錐中,底面為梯形,底面,,,,.

          1)求證:平面平面

          2)設(shè)上一點,滿足,若直線與平面所成的角為,求二面角的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知四棱錐的底面為直角梯形,,°,底面,且,的中點.

          (1)證明平面平面;

          (2)求所成角的余弦值;

          (3)求平面與平面所成二面角(銳角的余弦值.

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          (1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;

          (2)若直線與曲線交于,兩點,且,求直線的傾斜角.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】科研人員在對人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中,獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數(shù)據(jù),如下表:

          (年齡/歲)

          26

          27

          39

          41

          49

          53

          56

          58

          60

          61

          (脂肪含量/%)

          14.5

          17.8

          21.2

          25.9

          26.3

          29.6

          31.4

          33.5

          35.2

          34.6

          根據(jù)上表的數(shù)據(jù)得到如下的散點圖.

          (1)根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點圖:

          (i)求;

          (i)計算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),并刻畫它們的相關(guān)程度.

          (2)若關(guān)于的線性回歸方程為,求的值(精確到0.01),并根據(jù)回歸方程估計年齡為50歲時人體的脂肪含量.

          附:參考數(shù)據(jù):img src="http://thumb.zyjl.cn/Upload/2019/08/18/08/786210e5/SYS201908180802150104289801_ST/SYS201908180802150104289801_ST.007.png" width="51" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />,,,,

          參考公式:相關(guān)系數(shù)

          回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】正三棱柱的底面邊長是2,側(cè)棱長是4,的中點.中點,中點,中點,

          1)計算異面直線所成角的余弦值

          2)求證:平面

          3)求證:面

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】自貢農(nóng)科所實地考察,研究發(fā)現(xiàn)某貧困村適合種植,兩種藥材,可以通過種植這兩種藥材脫貧.通過大量考察研究得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù):藥材的畝產(chǎn)量約為300公斤,其收購價格處于上漲趨勢,最近五年的價格如下表:

          編號

          1

          2

          3

          4

          5

          年份

          2015

          2016

          2017

          2018

          2019

          單價(元/公斤)

          18

          20

          23

          25

          29

          藥材的收購價格始終為20/公斤,其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下:

          1)若藥材的單價(單位:元/公斤)與年份編號具有線性相關(guān)關(guān)系,請求出關(guān)于的回歸直線方程,并估計2020年藥材的單價;

          2)用上述頻率分布直方圖估計藥材的平均畝產(chǎn)量,若不考慮其他因素,試判斷2020年該村應(yīng)種植藥材還是藥材?并說明理由.

          參考公式:,(回歸方程中)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】英語老師要求學(xué)生從星期一到星期四每天學(xué)習(xí)3個英語單詞:每周五對一周內(nèi)所學(xué)單詞隨機抽取若干個進行檢測(一周所學(xué)的單詞每個被抽到的可能性相同)

          (1)英語老師隨機抽了個單詞進行檢測,求至少有個是后兩天學(xué)習(xí)過的單詞的概率;

          (2)某學(xué)生對后兩天所學(xué)過的單詞每個能默寫對的概率為,對前兩天所學(xué)過的單詞每個能默寫對的概率為,若老師從后三天所學(xué)單詞中各抽取一個進行檢測,求該學(xué)生能默寫對的單詞的個數(shù)的分布列和期望。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】在平面直角坐標系中,四個點,,中有3個點在橢圓.

          1)求橢圓的標準方程;

          2)過原點的直線與橢圓交于,兩點(不是橢圓的頂點),點在橢圓上,且,直線軸、軸分別交于兩點,設(shè)直線的斜率分別為,,證明:存在常數(shù)使得,并求出的值.

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