Question

下列五個命題，其中真命題的序號是______（寫出所有真命題的序號）．
（1）已知C：

x2

2-m

+

y2

m2-4

=1（m∈R），當m＜-2時C表示橢圓．
（2）在橢圓

x2

45

+

y2

20

=1上有一點P，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的左，右焦點，△F₁PF₂為直角三角形則這樣的點P有8個．
（3）曲線

x2

10-m

+

y2

6-m

=1(m＜6)與曲線

x2

5-m

+

y2

9-m

=1(5＜m＜9)的焦距相同．
（4）漸近線方程為y=±

b

a

x(a＞0，b＞0)的雙曲線的標準方程一定是

x2

a2

-

y2

b2

=1
（5）拋物線y=ax²的焦點坐標為(0，

1

4a

)．

Answer 1

（1）當m=-3時，橢圓的方程變?yōu)?span mathtag="math" >C：

x2

5

+

y2

5

=1表示一個圓，故錯；
（2）F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點，P是橢圓上一點，且∠F₁PF₂=90°，
∴以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有交點，圓的半徑r=c≥b，
∴圓與橢圓最多有4個交點，∴，△F₁PF₂為直角三角形則這樣的點P最多有4個．故錯；
（3）曲線

x2

10-m

+

y2

6-m

=1(m＜6)與曲線

x2

5-m

+

y2

9-m

=1(5＜m＜9)的焦距都為4，相同，故正確；
（4）根據(jù)題意，近線方程為y=±

b

a

x(a＞0，b＞0)的雙曲線的標準方程一定是

x2

a2

-

y2

b2

=λ(λ≠0)故錯；
（5）整理拋物線方程得x²=

1

a

y，p=

1

2a

∴焦點坐標為 (0，

1

4a

)故正確．
故答案為：（3）（5）