Question

如圖，A、B是一矩形OEFG邊界上不同的兩點(diǎn)，且∠AOB=45°，OE=1，EF=

3

，設(shè)∠AOE=α．
（1）寫出△AOB的面積關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式f（α）；
（2）寫出函數(shù)f（α）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OE=1，EF=

3

，可得∠EOF=60°．由于A、B是一矩形OEFG邊界上不同的兩點(diǎn)，且∠AOB=45°，∠AOE=α，故要進(jìn)行分類討論：當(dāng)α∈[0，

π

12

]時(shí)，△AOB的兩頂點(diǎn)A、B在E、F上；當(dāng)a∈(

π

12

，

π

4

]時(shí)，A點(diǎn)在EF上，B點(diǎn)在FG上，從而可求相應(yīng)的面積f（α），進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）由（1）分類求函數(shù)的值域：當(dāng)α∈[0，

π

12

]時(shí)，f（α）=

2

2cos(2α+ π 4 )+ 2

∈[

1

2

，

3

-1]；當(dāng)α∈(

π

12

，

π

4

]時(shí)，f（α）=

6

2cos(2α- π 4 )+ 2

∈[

6

-

3

，

3

2

]．故可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵OE=1，EF=

3

．
∴∠EOF=60°．
當(dāng)α∈[0，

π

12

]時(shí)，△AOB的兩頂點(diǎn)A、B在E、F上，
且AE=tanα，BE=tan（45°+α）．
∴f（α）=S_△AOB=

1

2

[tan（45°+α）-tanα]
=

sin45°

2cosα•cos(45°+α)

=

2

2cos(2α+45°)+ 2

．
當(dāng)a∈(

π

12

，

π

4

]時(shí)，A點(diǎn)在EF上，B點(diǎn)在FG上，且OA=

1

cosα

，OB=

3

cos(45°-α)

．
∴f（α）=S_△AOB=

1

2

OA•OB•sin45°=

1

2cosα

•

3

cos(45°-α)

•sin45°=

6

2cos( π 4 -2α)+ 2

綜上得：f（α）=

2 2cos(2α+ π 4 )+ 2 α∈[0， π 12 ] 6 2cos(2α- π 4 )+ 2 α∈( π 12 ， π 4 ]

（2）由（1）得：當(dāng)α∈[0，

π

12

]時(shí)，f（α）=

2

2cos(2α+ π 4 )+ 2

∈[

1

2

，

3

-1]．
且當(dāng)α=0時(shí)，f（α）_min=

1

2

；α=

π

12

時(shí)，f（α）_max=

3

-1；
當(dāng)α∈(

π

12

，

π

4

]時(shí)，-

π

12

≤2α-

π

4

≤

π

4

，f（α）=

6

2cos(2α- π 4 )+ 2

∈[

6

-

3

，

3

2

]．
且當(dāng)α=

π

8

時(shí)，f（α） _min=

6

-

3

；當(dāng)α=

π

4

時(shí)，f（α） _max=

3

2

．
所以f（α）∈[

1

2

，

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查三角函數(shù)，同時(shí)考查了三角函數(shù)的值域問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，其中分類討論是解題的關(guān)鍵．