Question

如圖，A、B是一矩形OEFG邊界上不同的兩點(diǎn)，且∠AOB=45°，OE=1，EF=，設(shè)∠AOE=α．
（1）寫(xiě)出△AOB的面積關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式f（α）；
（2）寫(xiě)出函數(shù)f（α）的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)OE=1，EF=，可得∠EOF=60°．由于A、B是一矩形OEFG邊界上不同的兩點(diǎn)，且∠AOB=45°，∠AOE=α，故要進(jìn)行分類討論：當(dāng)α∈[0，]時(shí)，△AOB的兩頂點(diǎn)A、B在E、F上；當(dāng)a∈時(shí)，A點(diǎn)在EF上，B點(diǎn)在FG上，從而可求相應(yīng)的面積f（α），進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）由（1）分類求函數(shù)的值域：當(dāng)α∈[0，]時(shí)，f（α）=∈[，-1]；當(dāng)α∈時(shí)，f（α）=∈[-，]．故可得結(jié)論．
解答：解：（1）∵OE=1，EF=．
∴∠EOF=60°．
當(dāng)α∈[0，]時(shí)，△AOB的兩頂點(diǎn)A、B在E、F上，
且AE=tanα，BE=tan（45°+α）．
∴f（α）=S_△AOB=[tan（45°+α）-tanα]
==．
當(dāng)a∈時(shí)，A點(diǎn)在EF上，B點(diǎn)在FG上，且OA=，OB=．
∴f（α）=S_△AOB=OA•OB•sin45°=••sin45°=
綜上得：f（α）=

（2）由（1）得：當(dāng)α∈[0，]時(shí)，f（α）=∈[，-1]．
且當(dāng)α=0時(shí)，f（α）_min=；α=時(shí)，f（α）_max=-1；
當(dāng)α∈時(shí)，-≤2α-≤，f（α）=∈[-，]．
且當(dāng)α=時(shí)，f（α） _min=-；當(dāng)α=時(shí)，f（α） _max=．
所以f（α）∈[，]．
點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查三角函數(shù)，同時(shí)考查了三角函數(shù)的值域問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，其中分類討論是解題的關(guān)鍵．