Question

如圖，半徑是1且圓心角為120°的扇形中，點(diǎn)A、B是扇形的兩個(gè)端點(diǎn)，線段PQ是一條平行于弦AB的動(dòng)弦，以PQ為一邊作該扇形的一個(gè)內(nèi)接矩形MNQP，將矩形MNQP面積記為S．試確定當(dāng)P點(diǎn)在什么位置時(shí)，S取得最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：要用三角函數(shù)解決問題，首先構(gòu)造三角形即連接op，然后設(shè)出角∠AOP=θ，并過O作OH⊥MN于H，能推出H是MN的中點(diǎn)．然后在△OPM中，利用正弦定理得到MP，而MN=2HM，進(jìn)而得到MN，利用三角形面積法求出S．利用三角函數(shù)變換公式得到正弦函數(shù)，最后求出正弦函數(shù)最大值即可．

解答：解：連接OP，設(shè)∠AOP=θ，則θ∈（0°，120°），
過點(diǎn)O作OH⊥MN于H，則H是MN的中點(diǎn)，（2分）
在△OMP中，由正弦定理有

MP

sinθ

=

MO

sin(60°-θ)

=

1

sin120°

所以MP=

2

3

sinθ①（5分）
OM=

2

3

sin(60°-θ)，
所以在直角△OMH中，HM=OMsin60°=sin（60°-θ）
所以MN=2HM=2sin（60°-θ）②（8分）
所以由①②得：S=

4

3

sinθsin(60°-θ)=2sinθcosθ-

2

3

sin2θ（10分）
=sin2θ-

3

3

(1-cos2θ)=sin2θ+

3

3

cos2θ-

3

3

=

2 3

3

sin(2θ+30°)-

3

3

（13分）
因?yàn)棣取剩?°，120°），所以當(dāng)2θ+30°=90°，
即θ=30°時(shí)Smax=

3

3

，（15分）
即

AP

的長是

AB

的長的

1

4

時(shí)（或說成當(dāng)∠AOP=30°時(shí)），
S取得最大值

3

3

．（16分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查正弦函數(shù)最值問題，學(xué)生的構(gòu)造能力及三角函數(shù)的變換能力，解決實(shí)際問題的能力．