【題目】【2017福建三明5月質(zhì)檢】已知函數(shù),
.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:過(guò)點(diǎn)
有三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)
相切;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(I)詳見(jiàn)解析;(II).
【解析】
解法一:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
,
設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切,其切點(diǎn)為
,
則曲線(xiàn)在點(diǎn)
處的切線(xiàn)方程為:
,
因?yàn)榍芯(xiàn)過(guò)點(diǎn),所以
,
即,
∵,∴
,
設(shè),
∵,
,
,
∴在三個(gè)區(qū)間
上至少各有一個(gè)根
又因?yàn)橐辉畏匠讨炼嘤腥齻(gè)根,所以方程恰有三個(gè)根,
故過(guò)點(diǎn)有三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)
相切.
(Ⅱ)∵當(dāng)時(shí),
,即當(dāng)
時(shí),
∴當(dāng)時(shí),
,
設(shè),則
,
設(shè),則
.
(1)當(dāng)時(shí),∵
,∴
,從而
(當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí),等號(hào)成立)
∴在
上單調(diào)遞增,
又∵,∴當(dāng)
時(shí),
,從而當(dāng)
時(shí),
,
∴在
上單調(diào)遞減,又∵
,
從而當(dāng)時(shí),
,即
于是當(dāng)時(shí),
.
(2)當(dāng)時(shí),令
,得
,∴
,
故當(dāng)時(shí),
,
∴在
上單調(diào)遞減,
又∵,∴當(dāng)
時(shí),
,
從而當(dāng)時(shí),
,
∴在
上單調(diào)遞增,又∵
,
從而當(dāng)時(shí),
,即
于是當(dāng)時(shí),
,
綜合得的取值范圍為
.
解法二:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
,
,
設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切,其切點(diǎn)為
,
則曲線(xiàn)在點(diǎn)
處的切線(xiàn)方程為
,
因?yàn)榍芯(xiàn)過(guò)點(diǎn),所以
,
即,
∵,∴
設(shè),則
,令
得
當(dāng)變化時(shí),
,
變化情況如下表:
+ | 0 | - | 0 | + | |
↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
∴恰有三個(gè)根,
故過(guò)點(diǎn)有三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)
相切.
(Ⅱ)同解法一.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)= ,(a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的定義域.
(2)證明f(x)為奇函數(shù).
(3)求使f(x)>0成立的x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若橢圓的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸,長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為18,焦距為6,則橢圓的方程為( )
A.
B.
C. 或
D.以上都不對(duì)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2017北京西城區(qū)5月模擬】某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在,
兩家餐廳用餐的滿(mǎn)意度,從在
,
兩家餐廳都用過(guò)餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,每人分別對(duì)這兩家餐廳進(jìn)行評(píng)分,滿(mǎn)分均為60分.
整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù),將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組:,
,
,
,
,
,得到
餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖,和
餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表:
定義學(xué)生對(duì)餐廳評(píng)價(jià)的“滿(mǎn)意度指數(shù)”如下:
分?jǐn)?shù) | |||
滿(mǎn)意度指數(shù) |
(Ⅰ)在抽樣的100人中,求對(duì)餐廳評(píng)價(jià)“滿(mǎn)意度指數(shù)”為0的人數(shù);
(Ⅱ)從該校在,
兩家餐廳都用過(guò)餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查,試估計(jì)其對(duì)
餐廳評(píng)價(jià)的“滿(mǎn)意度指數(shù)”比對(duì)
餐廳評(píng)價(jià)的“滿(mǎn)意度指數(shù)”高的概率;
(Ⅲ)如果從,
兩家餐廳中選擇一家用餐,你會(huì)選擇哪一家?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,程序框圖的輸出結(jié)果為﹣18,那么判斷框①表示的“條件”應(yīng)該是( )
A.i>10?
B.i>9?
C.i>8?
D.i>7?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)直線(xiàn)l1 , l2分別是函數(shù)f(x)= 圖象上點(diǎn)P1 , P2處的切線(xiàn),l1與l2垂直相交于點(diǎn)P,且l1 , l2分別與y軸相交于點(diǎn)A,B,則△PAB的面積的取值范圍是( )
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A,B,C,D是直角坐標(biāo)系中不同的四點(diǎn),若 =λ
(λ∈R),
=μ
(μ∈R),且
=2,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.C可能是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)
B.D可能是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)
C.C,D可能同時(shí)在線(xiàn)段AB上
D.C,D不可能同時(shí)在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到兩點(diǎn)(0,﹣),(0,
)的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C,直線(xiàn)y=kx+1與C交于A(yíng),B兩點(diǎn).
(1)寫(xiě)出C的方程;
(2)若⊥
, 求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2012年“雙節(jié)”期間,高速公路車(chē)輛較多.某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車(chē)中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢(xún)問(wèn)調(diào)查,將他們?cè)谀扯胃咚俟返能?chē)速(km/t)分成六段:(60,65),[65,70),[70,75),[80,85),[85,90)后得到如圖的頻率分布直方圖.
(1)某調(diào)查公司在采樣中,用到的是什么抽樣方法?
(2)求這40輛小型車(chē)輛車(chē)速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值.
(3)若從車(chē)速在[60,70)的車(chē)輛中任抽取2輛,求車(chē)速在[65,70)的車(chē)輛至少有一輛的概率.
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