【題目】【2017福建三明5月質(zhì)檢】已知函數(shù)
，
．
（Ⅰ）當(dāng)
時(shí)，求證：過(guò)點(diǎn)
有三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)
相切；
（Ⅱ）當(dāng)
時(shí)，
，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
【答案】（I）詳見(jiàn)解析；（II）
.
【解析】
解法一：（Ⅰ）當(dāng)
時(shí)，
，
設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)
相切，其切點(diǎn)為
，
則曲線(xiàn)
在點(diǎn)
處的切線(xiàn)方程為：
，
因?yàn)榍芯�(xiàn)過(guò)點(diǎn)
，所以
，
即
，
∵
，∴
，
設(shè)
，
∵
，
，
，
∴
在三個(gè)區(qū)間
上至少各有一個(gè)根
又因?yàn)橐辉畏匠讨炼嘤腥齻�(gè)根，所以方程
恰有三個(gè)根，
故過(guò)點(diǎn)
有三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)
相切．
（Ⅱ）∵當(dāng)
時(shí)，
，即當(dāng)
時(shí)，
∴當(dāng)
時(shí)，
，
設(shè)
，則
，
設(shè)
，則
．
（1）當(dāng)
時(shí)，∵
，∴
，從而
（當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，等號(hào)成立）
∴
在
上單調(diào)遞增，
又∵
，∴當(dāng)
時(shí)，
，從而當(dāng)
時(shí)，
，
∴
在
上單調(diào)遞減，又∵
，
從而當(dāng)
時(shí)，
，即
于是當(dāng)
時(shí)，
．
（2）當(dāng)
時(shí)，令
，得
，∴
，
故當(dāng)
時(shí)，
，
∴
在
上單調(diào)遞減，
又∵
，∴當(dāng)
時(shí)，
，
從而當(dāng)
時(shí)，
，
∴
在
上單調(diào)遞增，又∵
，
從而當(dāng)
時(shí)，
，即
于是當(dāng)
時(shí)，
，
綜合得
的取值范圍為
．
解法二：（Ⅰ）當(dāng)
時(shí)，
，
，
設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)
相切，其切點(diǎn)為
，
則曲線(xiàn)
在點(diǎn)
處的切線(xiàn)方程為
，
因?yàn)榍芯�(xiàn)過(guò)點(diǎn)
，所以
，
即
，
∵
，∴
設(shè)
，則
，令
得
當(dāng)
變化時(shí)，
，
變化情況如下表：
|
|
|
|
|
|
| + | 0 | - | 0 | + |
| ↗ | 極大值
| ↘ | 極小值 | ↗ |
∴
恰有三個(gè)根，
故過(guò)點(diǎn)
有三條直線(xiàn)與曲線(xiàn)
相切．
（Ⅱ）同解法一．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知f（x）= 
，（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定義域．
（2）證明f（x）為奇函數(shù)．
（3）求使f（x）＞0成立的x的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】若橢圓的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為18，焦距為6，則橢圓的方程為（ ）
A.
B.
C. 或 
D.以上都不對(duì)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】【2017北京西城區(qū)5月模擬】某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在
，
兩家餐廳用餐的滿(mǎn)意度，從在
，
兩家餐廳都用過(guò)餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，每人分別對(duì)這兩家餐廳進(jìn)行評(píng)分，滿(mǎn)分均為60分.
整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組：
，
，
，
，
，
，得到
餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，和
餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表：
定義學(xué)生對(duì)餐廳評(píng)價(jià)的“滿(mǎn)意度指數(shù)”如下：
分?jǐn)?shù) |
|
|
|
滿(mǎn)意度指數(shù) |
|
|
|
（Ⅰ）在抽樣的100人中，求對(duì)
餐廳評(píng)價(jià)“滿(mǎn)意度指數(shù)”為0的人數(shù)；
（Ⅱ）從該校在
，
兩家餐廳都用過(guò)餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查，試估計(jì)其對(duì)
餐廳評(píng)價(jià)的“滿(mǎn)意度指數(shù)”比對(duì)
餐廳評(píng)價(jià)的“滿(mǎn)意度指數(shù)”高的概率；
（Ⅲ）如果從
，
兩家餐廳中選擇一家用餐，你會(huì)選擇哪一家？說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，程序框圖的輸出結(jié)果為﹣18，那么判斷框①表示的“條件”應(yīng)該是（ ） 
A.i＞10？
B.i＞9？
C.i＞8？
D.i＞7？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)直線(xiàn)l1 ， l2分別是函數(shù)f（x）= 
圖象上點(diǎn)P1 ， P2處的切線(xiàn)，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1 ， l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則△PAB的面積的取值范圍是（ ）
A.（0，1）
B.（0，2）
C.（0，+∞）
D.（1，+∞）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知點(diǎn)A，B，C，D是直角坐標(biāo)系中不同的四點(diǎn)，若 
=λ 
（λ∈R）， 
=μ （μ∈R），且 
=2，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.C可能是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)
B.D可能是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)
C.C,D可能同時(shí)在線(xiàn)段AB上
D.C,D不可能同時(shí)在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)（0，﹣
），（0，）的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線(xiàn)y=kx+1與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)．
（1）寫(xiě)出C的方程；
（2）若
⊥
， 求k的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】2012年“雙節(jié)”期間，高速公路車(chē)輛較多．某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車(chē)中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢(xún)問(wèn)調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能?chē)速（km/t）分成六段：（60，65），[65，70），[70，75），[80，85），[85，90）后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）某調(diào)查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？
（2）求這40輛小型車(chē)輛車(chē)速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值．
（3）若從車(chē)速在[60，70）的車(chē)輛中任抽取2輛，求車(chē)速在[65，70）的車(chē)輛至少有一輛的概率．
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