Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為.

(1)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；

(2)點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為1，2，分別過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線交拋物線于另外不同兩點(diǎn)，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為，將直線與拋物線聯(lián)立消去，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，再由拋物線定義可得即可求解.

（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，分類討論①當(dāng)兩條直線的傾斜角都為時(shí)，②當(dāng)兩條直線的傾斜角都不為時(shí)，設(shè)直線的方程與設(shè)直線的方程，分別將直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，整理化簡(jiǎn)即可求出直線的斜率.

（1）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，

聯(lián)立方程，消去整理為，則，，

所以，

由拋物線定義可得，，所以，

解得：，

故直線的方程為，即.

（2）由題意知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

①當(dāng)兩條直線的傾斜角都為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

此時(shí)直線的斜率為，

②當(dāng)兩條直線的傾斜角都不為時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

此時(shí)直線的斜率為，

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程消去整理為，則，得，

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程消去整理為，

則，得，

所以，可得，

故直線的斜率為，

綜上，可得直線的斜率為.