Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與圓相交于兩點(diǎn)，試問直線與的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值，

【解析】

（1）將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，建立的方程組，即可求出結(jié)論；

（2）先求出直線斜率不存在時(shí)的值，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)已知求出關(guān)系，再將直線與圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系將坐標(biāo)用表示，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)論.

（1）依題意，，解得，

所以橢圓方程為.

（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為.

若直線l的方程為，則M，N的坐標(biāo)為，

.

若直線l的方程為，則M，N的坐標(biāo)為，

.

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線，

與橢圓方程聯(lián)立可得，

由相切可得，

.

又，消去得

，

設(shè)，，則

∴，

.

故為定值且定值為.

綜上，為定值且定值為.