Question

【題目】有5個匣子，每個匣子有一把鑰匙，并且鑰匙不能通用．如果隨意在每一個匣內(nèi)放入一把鑰匙，然后把匣子全都鎖上．現(xiàn)在允許砸開一個匣子，使得能相繼用鑰匙打開其余4個匣子，那么鑰匙的放法有______種．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先，在砸開的匣子中必放有另一個匣子的鑰匙，在匣子中又放有匣子的鑰匙，在匣子中放有匣子的鑰匙，在匣子中放有匣子的鑰匙，在匣子中放有被砸開的匣子的鑰匙．記這個砸開的匣子為．這就相當(dāng)于1，2，3，4，5形成一個環(huán)狀排列．

反過來，對由1，2，3，4，5排成的每一種環(huán)狀排列，也就可以對應(yīng)成一種相繼打開各個匣子的一種放鑰匙的方法．先讓5個匣子沿著圓環(huán)對號入座，再在每個匣子中放入其下方的匣子的鑰匙（如圖），這就得到一種相繼打開各個匣子的放鑰匙的方法．所以，可使所有匣子相繼打開的放鑰匙的方法數(shù)恰與1，2，3，4，5的環(huán)狀排列數(shù)相等．

由于每個環(huán)狀排列（如圖）可以剪開拉直為5個排列：，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，．

反之，5個這樣的排列對應(yīng)著一個環(huán)狀排列，因而5個元素的環(huán)狀排列數(shù)為（種）．

一般地，個元素的環(huán)狀排列數(shù)為種．