【題目】設(shè)函數(shù),
為曲線
在點
處的切線.
(Ⅰ)求的方程.
(Ⅱ)當時,證明:除切點
之外,曲線
在直線
的下方.
(Ⅲ)設(shè),
,
,且滿足
,求
的最大值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析(Ⅲ)
.
【解析】試題分析:(Ⅰ)先求導,再求的值,根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知切線的斜率即為
.由點斜式可得直線方程.(Ⅱ)即證明
,
恒成立.變形可得即證
恒成立即可.令
求導,討論導數(shù)的正負,根據(jù)導數(shù)的正負可得函數(shù)
的單調(diào)性.根據(jù)單調(diào)性可求其最值,其最大值小于0即可.(Ⅲ)當
且
時由(Ⅱ)可知
.當
中至少有一個大于等于
時,可用配方法求各自值域再相加.
試題解析:解:(Ⅰ) .
所以.
所以 L的方程為,即
. 3分
(Ⅱ)要證除切點之外,曲線C在直線L的下方,只需證明
,
恒成立.
因為,
所以只需證明,
恒成立即可. 5分
設(shè)
則.
令,解得
,
. 6分
當在
上變化時,
的變化情況如下表
所以,
恒成立. 8分
(Ⅲ)(ⅰ)當且
時,
由(Ⅱ)可知: ,
,
.
三式相加,得.
因為,
所以,且當
時取等號. 11分
(ⅱ)當中至少有一個大于等于
時,
不妨設(shè),則
,
因為,
,
所以.
綜上所述,當時
取到最大值
. 14分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,是正三角形,線段
和
都垂直于平面
,設(shè)
,
,且
為
的中點.
(1)求證:平面
;
(2)求證:;
(3)求平面與平面
所成的較小二面角的大。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有六支足球隊參加單循環(huán)比賽(即任意兩支球隊只踢一場比賽),第一周的比賽中
,各踢了
場,
各踢了
場,
踢了
場,且
隊與
隊未踢過,
隊與
隊也未踢過,則在第一周的比賽中,
隊踢的比賽的場數(shù)是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的漸近線方程是
,右焦點
,則雙曲線
的方程為_________,又若點
,
是雙曲線
的左支上一點,則
周長的最小值為__________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】[2018·贛中聯(lián)考]李冶(1192-1279),真實欒城(今屬河北石家莊市)人,金元時期的數(shù)學家、詩人,晚年在封龍山隱居講學,數(shù)學著作多部,其中《益古演段》主要研究平面圖形問題:求圓的直徑、正方形的邊長等.其中一問:現(xiàn)有正方形方田一塊,內(nèi)部有一個圓形水池,其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝,若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步,則圓池直徑和方田的邊長分別是(注:240平方步為1畝,圓周率按3近似計算)( )
A. 10步,50步 B. 20步,60步 C. 30步,70步 D. 40步,80步
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(
為常數(shù)).
(1)若函數(shù)與函數(shù)
在
處有相同的切線,求實數(shù)
的值;
(2)若,且
,證明:
;
(3)若對任意,不等式恒
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列各組函數(shù)中,表示同一個函數(shù)的是( ).
A.y=x+1和y=B.y=x0和y=
C.f(x)=(x-1)2和g(x)=(x+1)2D.f(x)=
和g(x)=
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