Question

【題目】已知函數， （為常數）.

（1）若函數與函數在處有相同的切線，求實數的值；

（2）若，且，證明： ；

（3）若對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）根據導數幾何意義得，解得實數的值；（2）研究差函數，求導數，再求導函數零點，確定函數單調性，進而確定最小值為0，即證得結論（3）研究差函數，因為，所以恒成立，利用變量分離轉化為，再根據導數求函數最大值，即得實數的取值范圍.

試題解析：（1），則且.

所以函數在處的切線方程為： ，從而，即.

（2）由題意知：設函數，則.

設，從而對任意恒成立，

所以，即，

因此函數在上單調遞減，即，

所以當時， 成立.

（3）設函數，

從而對任意，不等式恒成立.

又，當，即恒成立時，函數單調遞減.

設，則，所以，即，符合題意；

當時， 恒成立，此時函數單調遞增.

于是，不等式對任意恒成立，不符合題意；

當時，設，

則

當時， ，此時單調遞增，

所以 ，

故當時，函數單調遞增.

于是當時， 成立，不符合題意；

綜上所述，實數的取值范圍為： .