Question

【題目】設(shè),函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在處的切線與直線平行,求的值;

（Ⅱ）若對于定義域內(nèi)的任意,總存在使得,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，解得的值;（2）先根據(jù)任意存在性含義轉(zhuǎn)化不等式為對應(yīng)函數(shù)最值關(guān)系： 在定義域內(nèi)不存在最小值,再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a正負討論導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，進而確定單調(diào)性以及最小值取法，最后根據(jù)最小值情況確定的取值范圍.

試題解析：解:（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為

,

則函數(shù)在處的切線斜率為,

依題意有,

解得.

（Ⅱ）對于定義域內(nèi)的任意,總存在使得,

即為在定義域內(nèi)不存在最小值,

①當(dāng)時, ,無最小值,符合題意;

②當(dāng)時, 的導(dǎo)函數(shù)為,

可得在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,

即有在取得極大值,

當(dāng)時, ;當(dāng)時, .

取即可,

當(dāng)時, 在單調(diào)遞減,

且, ,

故存在,使得,

同理當(dāng)時,令使得,

則有當(dāng)時, 成立;

③當(dāng)時, 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞增,

即有在處取得極小值,

當(dāng)時, ;當(dāng)時,

所以,

當(dāng)時,不存在使得成立,

綜上可得, 的取值范圍是.