Question

如圖，已知二面角α-MN-β的大小為60°，菱形ABCD在面β內(nèi)，A、B兩點(diǎn)在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中點(diǎn)，DO⊥面α，垂足為O．
（Ⅰ）證明：AB⊥平面ODE；
（Ⅱ）求異面直線BC與OD所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理，即可證得，注意平面內(nèi)的相交二直線；
（Ⅱ）根據(jù)異面直線的定義，找出所成的角為∠ADO，說(shuō)明∠DEO是二面角α-MN-β的平面角，不妨設(shè)AB=2，從而求出OD的長(zhǎng)，再在直角三角形AOD中，求出cos∠ADO．

解答： （1）證明：如圖
∵DO⊥面α，AB?α，∴DO⊥AB，
連接BD，由題設(shè)知，△ABD是正三角形，
又E是AB的中點(diǎn)，∴DE⊥AB，又DO∩DE=D，
∴AB⊥平面ODE；
（Ⅱ）解：∵BC∥AD，
∴BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角，即∠ADO是BC與OD所成的角，
由（Ⅰ）知，AB⊥平面ODE，
∴AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α-MN-β的平面角，
從而∠DEO=60°，不妨設(shè)AB=2，則AD=2，易知DE=

3

，
在Rt△DOE中，DO=DEsin60°=

3

2

，連AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO=

OD

AD

=

3 2

2

=

3

4

，
故異面直線BC與OD所成角的余弦值為

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面垂直的判定，以及空間的二面角和異面直線所成的角的定義以及計(jì)算，是一道基礎(chǔ)題．