Question

【題目】已知函數(shù)的圖象的一條切線為軸.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）令，若存在不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)滿足，求證： .

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，由題可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由原函數(shù)和切線的斜率為可得方程組，解方程組得值；（2）由題知，可構(gòu)造去絕對值后的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，最后可令，利用單調(diào)性可得結(jié)論．

試題解析：（1）， ，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意得，

解得： .

（2），令，

則，當(dāng)時(shí)， ， ，

又可以寫成，當(dāng)時(shí)， ， ，

因此在上大于0， 在上單調(diào)遞增，又，

因此在上小于0，在上大于0，

且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，

當(dāng)時(shí)， ，

記，

記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則

，

故在上單調(diào)遞增，

所以，所以，

不妨設(shè)，則，

而， ，有單調(diào)性知，即.