Question

【題目】是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y＝sin2x＋acosx＋a－在閉區(qū)間[0，]上的最大值是1？若存在，則求出對(duì)應(yīng)的a的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解 y＝sin2x＋acosx＋a－

＝1－cos2x＋acosx＋a－

＝－(cosx－)2＋＋a－.

∵0≤x≤，∴0≤cosx≤1，令cosx＝t，

則y＝－(t－)2＋＋a－，0≤t≤1.

當(dāng)>1，即a>2時(shí)，函數(shù)y＝－(t－)2＋＋a－在t∈[0,1]上單調(diào)遞增，

∴t＝1時(shí)，函數(shù)有最大值ymax＝a＋a－＝1，

解得a＝<2(舍去)；

當(dāng)0≤≤1，即0≤a≤2時(shí)，

t＝函數(shù)有最大值，

ymax＝＋a－＝1，

解得a＝或a＝－4(舍去)；

當(dāng)<0，即a<0時(shí)，

函數(shù)y＝－(t－)2＋＋a－在t∈[0,1]上單調(diào)遞減，

∴t＝0時(shí)，函數(shù)有最大值ymax＝a－＝1，

解得a＝>0(舍去)，

綜上所述，存在實(shí)數(shù)a＝使得函數(shù)有最大值．