Question

平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0），B（0，-2），點C滿足，其中α，β∈R，且α-2β=1．
（Ⅰ）求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）設點C的軌跡與雙曲線交于兩點M，N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由向量等式，得點C的坐標，消去參數(shù)即得點C的軌跡方程；
（2）將直線與雙曲線方程組成方程組，利用方程思想，求出x₁x₂+y₁y₂，再結合向量的垂直關系得到關于a，b的關系，化簡即得結論．
解答：解：（Ⅰ）設C（x，y），∵，
∴（x，y）=α（1，0）+β（0，-2）．
∴
即點C的軌跡方程為x+y=（15分）
（Ⅱ）由得（b²-a²）x²+2a²x²-a²-a²b²=0
由題意得（8分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則（10分）
∵以MN為直徑的圓過原點，∴．即x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+2x₁x₂
=．即b²-a²-2a²b²=0．
∴為定值．（14分）
點評：本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、求曲線的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．