Question

（2006•海淀區(qū)二模）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩定點(diǎn)A（1，0）、B（0，-1），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足：

OP

=m

OA

+(m-1)

OB

(m∈R)．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P的軌跡與雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于相異兩點(diǎn)M、N．若以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，且雙曲線C的離心率等于

3

，求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)求出向量的坐標(biāo)，代入

OP

=m

OA

+(m-1)

OB

(m∈R)整理即可得到點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）聯(lián)立兩曲線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，再由以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)得到

OM

•

ON

=0，代入根與系數(shù)關(guān)系后得到關(guān)于a，b的方程，結(jié)合離心率可求解a，b的值，經(jīng)驗(yàn)證判別式大于0成立，所以答案可求．

解答：解：（1）∵

OP

=m

OA

+(m-1)

OB

，
∴（x，y）=m（1，0）+（m-1）（0，-1）
∴

x=m y=1-m

，∴x+y=1即點(diǎn)P的軌跡方程為x+y-1=0
（2）由

x+y=1 x2 a2 - y2 b2

得：（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0
∵點(diǎn)P軌跡與雙曲線C交于相異兩點(diǎn)M、N，∴b²-a²≠0，
且△=4a⁴-4（b²-a²）（-a²-a²b²）＞0（*）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

2a2

b2-a2

，x1x2=-

a2+a2b2

b2-a2

∵以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，∴

OM

•

ON

=0，
即：x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0，即1+

2a2

b2-a2

-

2(a2+a2b2)

b2-a2

=0
即b²-a²-2a²b²=0①，∵e=

3

，∴e2=

a2+b2

a2

=3，∴b²=2a²②．
∴由①、②解得a=

1

2

，b=

2

2

符合（*）式
∴雙曲線C的方程為4x²-2y²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，考查了平面向量數(shù)量積在解題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．