Question

（2011•南匯區(qū)二模）函數(shù)f(x)=

ax2+bx+c

的圖象關(guān)于任意直線l對(duì)稱后的圖象依然為某函數(shù)圖象，則實(shí)數(shù)a，b，c應(yīng)滿足的充要條件為

a＜0，b²-4ac=0

．

Answer 1

分析：函數(shù)關(guān)于任意直線l對(duì)稱后的圖象依然為某函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的定義中，象的唯一性，我們可得不論函數(shù)f(x)=

ax2+bx+c

的圖象怎么變換，函數(shù)圖象均不會(huì)與平行于y軸的直線有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則函數(shù)的圖象必然是一個(gè)點(diǎn)，再結(jié)合函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)，我們易得當(dāng)且僅當(dāng)ax²+bx+c∈{0}時(shí)，滿足要求，進(jìn)而即可求出f（x）中a，b，c應(yīng)滿足a＜0，b²-4ac=0．

解答：解：∵函數(shù) f（x）=ax²+bx+c的圖象關(guān)于任意直線l對(duì)稱后的圖象依然為某函數(shù)圖象
則函數(shù)圖象必是一個(gè)點(diǎn)
結(jié)合函數(shù)y=ax²+bx+c的性質(zhì)
當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)，有且只有一個(gè)x與之對(duì)應(yīng)
故只有ax²+bx+c=0時(shí)，滿足要求．故ax²+bx+c≤0在R上恒成立，所以a＜0，b²-4ac=0
故答案為；a＜0，b²-4ac=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的定義，理解函數(shù)的概念，并由此根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于任意直線l對(duì)稱后的圖象依然為某函數(shù)圖象，得到函數(shù)f(x)=

ax2+bx+c

的圖象必為一個(gè)點(diǎn)，是解答本題的關(guān)鍵．