Question

已知函數(shù)f（x）=sinx-xcosx的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．
（1）求證：f（x）在（0，π）上為增函數(shù)；
（2）若存在x∈（0，π），使得f′（x）＞

1

2

x²+λx成立，求實數(shù)λ的取值范圍；
（3）設(shè)F（x）=f′（x）+2cosx，曲線y=F（x）上存在不同的三點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），x₁＜x₂＜x₃，且x₁，x₂，x₃∈（0，π），比較直線AB的斜率與直線BC的斜率的大小，并證明．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出遞增區(qū)間；
（2）轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題解決，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即得結(jié)論；
（3）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出求出斜率，判斷斜率的大小關(guān)系，得出結(jié)論．

解答： 解 （1）證明：f′（x）=xsinx，
當x∈（0，π）時，sinx＞0，所以f′（x）＞0恒成立，
所以f （x） 在（0，π）上單調(diào)遞增．
（2）因為f′（x）＞

1

2

x²+λx，所以xsinx＞

1

2

x²+λx．
當0＜x＜π時，λ＜sinx-

1

2

x．
設(shè)φ（x）=sinx-

1

2

x，x∈（0，π），則φ′（x）=cosx-

1

2

．
當0＜x＜

π

3

時，φ′（x）＞0；當

π

3

＜x＜π時，φ′（x）＜0．
于是φ （x）在（0，

π

3

）上單調(diào)遞增，在 （

π

3

，π）上單調(diào)遞減，
所以當0＜x＜π時，φ（x）_max=g （

π

3

）=

3

2

-

π

6

因此λ＜

3

2

-

π

6

．
（3）由題意知只要判斷

F(x3)-F(x2)

x3-x2

＜

F(x2)-F(x1)

x2-x1

的大�。�
首先證明：

F(x3)-F(x2)

x3-x2

＜F′（x₂）．
由于x₂＜x₃，因此只要證：F（x₃）-F（x₂）＜（x₃-x₂） F′（x₂）．
設(shè)函數(shù)G（x）=F（x）-F（x₂）-（x-x₂） F′（x₂）（ x₂＜x＜π），
因為F′（x）=xcosx-sinx=-f（x），所以G′（x）=F′（x）-F′（x₂）=f （x₂）-f （x），
由（1）知f（x）在（0，π）上為增函數(shù)，所以G′（x）＜0．
則G（x）在（x₂，π）上單調(diào)遞減，又x＞x₂，故G（x）＜G（x₂）=0．
而x₂＜x₃＜π，則G（x₃）＜0，即F（x₃）-F（x₂）-（x₃-x₂） F′（x₂）＜0，即F（x₃）-F（x₂）＜（x₃-x₂） F′（x₂）．
從而

F(x3)-F(x2)

x3-x2

＜F′（x₂）得證．
同理可以證明：F′（x₂）＜

F(x2)-F(x1)

x2-x1

．
因此有

F(x3)-F(x2)

x3-x2

＜

F(x2)-F(x1)

x2-x1

，即直線AB的斜率大于直線BC的斜率．

點評：本題以三角函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及分類討論思想，適時結(jié)合形分析．其中第三問找一個中間量F′（x₂），難度稍大．