Question

【題目】 設(shè)函數(shù)，

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，曲線與有兩條公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2） （3）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，=，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)當(dāng)兩曲線與相切，則，解之即得，所以;(3)原命題等價(jià)于，再構(gòu)造函數(shù)，等價(jià)于恒成立,再求得解.

解:（1）當(dāng)時(shí)，=，

∴==，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

（2） 當(dāng)兩曲線與相切時(shí)，這時(shí)是的臨界值，

設(shè)兩曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，

則，解得，由圖象可知

（3）

令，等價(jià)于恒成立；

易得，注意到只是分子有效，

令，顯然在上為增函數(shù)，則．

故從數(shù)字2斷開討論：

①當(dāng)時(shí)，得，所以，得在上單增，

所以，恒成立，故滿足題意．

②當(dāng)時(shí)，令，得，（舍）

得時(shí)，，則在上遞減，

時(shí)，，則在上遞增，

又注意到，所以極小值，不可能恒成立，不符合題意

綜合上述， 實(shí)數(shù)的取值范圍是．