Question

已知雙曲線(xiàn)x²-=1與點(diǎn)P（1，2），過(guò)P點(diǎn)作直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若P為AB中點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)AB的方程；
（2）若Q（1，1），證明不存在以Q為中點(diǎn)的弦．

Answer 1

解：（1）設(shè)過(guò)P（1，2）點(diǎn)的直線(xiàn)AB方程為y-2=k（x-1），
代入雙曲線(xiàn)方程得
（2-k²）x²+（2k²-4k）x-（k⁴-4k+6）=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=-，
由已知=x_p=1，
∴=2．解得k=1．
又k=1時(shí)，△=16＞0，從而直線(xiàn)AB方程為x-y+1=0．
（2）證明：按同樣方法求得k=2，
而當(dāng)k=2時(shí)，△＜0，
所以這樣的直線(xiàn)不存在．
分析：（1）設(shè)出過(guò)P（1，2）點(diǎn)的直線(xiàn)AB方程，然后代入雙曲線(xiàn)方程，利用設(shè)而不求韋達(dá)定理求出k的值，求出AB的方程即可．
（2）按照（1）的方法，求出k=2，此時(shí)，△＜0，所以這樣的直線(xiàn)不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的運(yùn)用，以及直線(xiàn)的一般式，通過(guò)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的方程的聯(lián)立，通過(guò)設(shè)而不求韋達(dá)定理解題，屬于中檔題．