Question

【題目】已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，且.

（1）求的解析式；

（2）若函數(shù)在上只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由解之即可；（2）將函數(shù)的解析式代入化簡，把函數(shù)在上只有一個零點的問題轉(zhuǎn)化成方程的根的問題，然后利用指數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)進一步轉(zhuǎn)化為方程，再通過換元法可變?yōu)榉匠?/span>只有一個正根的問題，最后分成方程有兩相等正根、一正跟一負根和方程為一次方程三種情況討論即可.

（1） 因為，所以，即，

由解之得：.

（2）

進一步化簡得，

令得：，

化簡得：，令，則，

即方程只有一個正根，當時，，滿足題意；當方程有一正一負兩根時，滿足條件，則，所以；當方程有兩個相等的正根時，則，所以或（舍），時，滿足條件.

綜上，實數(shù)的取值范圍為：.