Question

半徑為4的球面上有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，且滿足

AB

•

AC

=0，

AC

•

AD

=0，

AD

•

AB

=0，則S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB的最大值為

 

．

Answer 1

分析：由題意，三棱錐為長方體的一個(gè)角，把三棱錐擴(kuò)展為長方體，二者的外接球相同，設(shè)出長方體的三度，利用長方體的對(duì)角線就是球的直徑，得到關(guān)系，利用基本不等式推出所求面積的最大值即可．

解答：解：半徑為4的球面上有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，且滿足

AB

•

AC

=0，

AC

•

AD

=0，

AD

•

AB

=0，
所以三棱錐是長方體的一個(gè)角，把這個(gè)四面體補(bǔ)全為一個(gè)立方體．
立方體必然是有外接球的，而外接球唯一，就是題目中的外接球．
設(shè)長方體的長：x，寬為：y，高為：z，故x²+y²+z²=8²=64
另有不等式x²+y²+z²≥xy+yz+zx
故而所求面積=

1

2

（xy+yz+zx）≤

1

2

•64=32
當(dāng)x=y=z時(shí)取到．
故答案為：32

點(diǎn)評(píng)：本題考查球內(nèi)接多面體，球的性質(zhì)，考查空間想象能力，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．