Question

設(shè)等比數(shù)列z₁，z₂，z₃，…，z_n，其中z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai（a，b∈R，a＞0）．
（1）求a，b的值．（2）求使z₁+z₂+…+z_n=0的最小正整數(shù)n的值．（參考數(shù)據(jù)：

1

4

-

3

i）

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到z₂²=z₁•z₃，然后將z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai代入整理，得到a，b的值．
（2）根據(jù)（1）中q=

3

2

+

1

2

i，然后表示出數(shù)列的前n項(xiàng)和使其等于0進(jìn)行求解即可．

解答：解：（1）由z₂²=z₁•z₃，得（a+bi）²=1×（b+ai），a²-b²+2abi=b+ai，
∴

a2-b2=b 2ab=a

，又a＞0，得b=

1

2

，于是a=

3

2

．
∴a=

3

2

，b=

1

2

．
（2）由（1）得q=

3

2

+

1

2

i，而z₁+z₂+…+z_n=0，
∴q=

z2

z1

=

3

2

+

1

2

i
sn=

1×[1-( 3 +i 2 )n]

1-( 3 2 + 1 2 i)

=0∴(

3 +i

2

)n=1∴(-i)n•(

-1+ 3 i

2

)n=1
又(

-1+ 3 i

2

)3=1，且（-i）⁴=1，∴n_min=12．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)．考查運(yùn)算能力、綜合解題能力．