Question

在R上定義的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且f（x）=f（2-x），若f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，則f（x）在區(qū)間[4，5]上是

增

（填增．減）函數(shù)．

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，則有f（-x）=f（x），結(jié)合f（x）=f（2-x），確定函數(shù)f（x）的周期性和對稱性，則利用周期性和對稱性即可確定f（x）在區(qū)間[4，5]上的單調(diào)性．

解答：解：∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
又∵f（x）=f（2-x），則f（x）=f（x-2），即f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期函數(shù)，周期T=2，
設(shè)x∈[4，5]，則x-4∈[0，1]，
∴當(dāng)x∈[4，5]時，f（x）=f（x-4），
∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）關(guān)于直線x=1對稱，
又∵f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，根據(jù)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，
∴f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[4，5]上是單調(diào)增函數(shù)．
故答案為：增．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查函數(shù)利用函數(shù)奇偶性與對稱性研究函數(shù)的單調(diào)性，綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，以及對函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明的掌握能力．屬于中檔題．