【題目】一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l(一條南北方向的直線)3.8海里的A處,發(fā)現(xiàn)在其北偏東30°方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑,緝私艇立即追擊,已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍,假設(shè)緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行.
(1)若走私船沿正東方向逃離,試確定緝私艇的追擊方向,使得用最短時間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功;(參考數(shù)據(jù):sin17°≈ ,
≈5.7446)
(2)問:無論走私船沿何方向逃跑,緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截?并說明理由.
【答案】
(1)解:設(shè)緝私艇在C處與走私船相遇,則AC=3BC.
△ABC中,由正弦定理可得sin∠BAC= =
,
∴∠BAC=17°,
∴緝私艇應(yīng)向北偏東47°方向追擊,
△ABC中,由余弦定理可得cos120°= ,∴BC≈1.68615.
B到邊界線l的距離為3.8﹣4sin30°=1.8,
∵1.68615<1.8,
∴能最短時間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功
(2)解:以A為原點,建立如圖所示的坐標(biāo)系,則B(2,2 ),設(shè)緝私艇在P(x,y)出與走私船相遇,則PA=3PB,
即x2+y2=9[(x﹣2)2+(y﹣2 )2],即(x﹣
)2+(y﹣
)2=
,
∴P的軌跡是以( ,
)為圓心,
為半徑的圓,
∵圓心到邊界線l:x=3.8的距離為1.55,大于圓的半徑,
∴無論走私船沿何方向逃跑,緝私艇總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截.
【解析】(1)設(shè)緝私艇在C處與走私船相遇,則AC=3BC.△ABC中,由余弦定理、正弦定理即可求解;(2)建立坐標(biāo)系,求出P的軌跡方程,即可解決.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于定義域為D的函數(shù)y=f(x),如果存在區(qū)間[m,n]D,其中m<n,同時滿足:①f(x)在[m,n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②當(dāng)定義域是[m,n]時,f(x)的值域也是[m,n]. 則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間[m,n]上的“保值函數(shù)”,區(qū)間[m,n]稱為“保值區(qū)間”.
(1)求證:函數(shù)g(x)=x2﹣2x不是定義域[0,1]上的“保值函數(shù)”.
(2)若函數(shù)f(x)=2+ ﹣
(a∈R,a≠0)是區(qū)間[m,n]上的“保值函數(shù)”,求a的取值范圍.
(3)對(2)中函數(shù)f(x),若不等式|a2f(x)|≤2x對x≥1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若不等式f(x)﹣f(x+m)≤1恒成立,求實數(shù)m的最大值;
(2)當(dāng)a< 時,函數(shù)g(x)=f(x)+|2x﹣1|有零點,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,點
,直線
.
(1)求與圓相切,且與直線
垂直的直線方程;
(2)在直線上(
為坐標(biāo)原點),存在定點
(不同于點
),滿足:對于圓
上任一點
,都有
為一常數(shù),試求所有滿足條件的點
的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)答案見解析.
【解析】試題分析:
(1)設(shè)所求直線方程為,利用圓心到直線的距離等于半徑可得關(guān)于b的方程,解方程可得
,則所求直線方程為
(2)方法1:假設(shè)存在這樣的點,由題意可得
,則
,然后證明
為常數(shù)
為即可.
方法2:假設(shè)存在這樣的點,使得
為常數(shù)
,則
,據(jù)此得到關(guān)于
的方程組,求解方程組可得存在點
對于圓
上任一點
,都有
為常數(shù)
.
試題解析:
(1)設(shè)所求直線方程為,即
,
∵直線與圓相切,∴,得
,
∴所求直線方程為
(2)方法1:假設(shè)存在這樣的點,
當(dāng)為圓
與
軸左交點
時,
;
當(dāng)為圓
與
軸右交點
時,
,
依題意,,解得,
(舍去),或
.
下面證明點對于圓
上任一點
,都有
為一常數(shù).
設(shè),則
,
∴
,
從而為常數(shù).
方法2:假設(shè)存在這樣的點,使得
為常數(shù)
,則
,
∴,將
代入得,
,即
對
恒成立,
∴,解得
或
(舍去),
所以存在點對于圓
上任一點
,都有
為常數(shù)
.
點睛:求定值問題常見的方法有兩種:
(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關(guān).
(2)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為
,其中
為常數(shù).
(1)當(dāng)時,求
的最大值,并推斷方程
是否有實數(shù)解;
(2)若在區(qū)間
上的最大值為-3,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某機械廠要將長,寬
的長方形鐵皮
進行裁剪.已知點
為
的中點,點
在邊
上,裁剪時先將四邊形
沿直線
翻折到
處(點
分別落在直線
下方點
處,
交邊
于點
),再沿直線
裁剪.
(1)當(dāng)時,試判斷四邊形
的形狀,并求其面積;
(2)若使裁剪得到的四邊形面積最大,請給出裁剪方案,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了普及環(huán)保知識,增強環(huán)保意識,某校從理科甲班抽取60人,從文科乙班抽取50人參加環(huán)保知識測試.
(Ⅰ)根據(jù)題目條件完成下面2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為環(huán)保知識成績優(yōu)秀與學(xué)生的文理分類有關(guān).
優(yōu)秀人數(shù) | 非優(yōu)秀人數(shù) | 總計 | |
甲班 | |||
乙班 | 30 | ||
總計 | 60 |
(Ⅱ)現(xiàn)已知A,B,C三人獲得優(yōu)秀的概率分別為 ,設(shè)隨機變量X表示A,B,C三人中獲得優(yōu)秀的人數(shù),求X的分布列及期望E(X).
附: ,n=a+b+c+d
P(K2>k0) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,四邊形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2CD=4,AD=2,過點C作CO⊥AB,垂足為O,將△OBC沿CO折起,如圖2使得平面CBO與平面AOCD所成的二面角的大小為θ(0<θ<π),E,F(xiàn)分別為BC,AO的中點
(1)求證:EF∥平面ABD
(2)若θ= ,求二面角F﹣BD﹣O的余弦值.
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