Question

【題目】函數(shù)．

（1）當時，求方程的根的個數(shù)；

（2）若恒成立，求的取值范圍．

注： 為自然對數(shù)的底數(shù)

Answer 1

【答案】（1）兩個 （2）

【解析】

（1）轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)零點問題，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，再根據(jù)零點存在定理確定零點個數(shù)；

（2）先轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)最值問題：，再令，轉(zhuǎn)化為解不等式，最后根據(jù)導數(shù)研究新函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式得結(jié)果.

（1）當時，構造函數(shù)，求導得：，

當時，，在上單調(diào)遞減；

當時，，在上單調(diào)遞增；

∵．

又∵，

∴，使，即存在兩個零點，

∴方程存在兩個根．

（2），

i）當時，，不合題意，舍去；

ii）當時，由可得，列表：

	-	0	+
		極小值

據(jù)表可得，，依題意有

令，則上式等價于，等價于，

構造函數(shù)，

記函數(shù)，易證得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，∴，∴在上單調(diào)遞增，注意到，

∴．

綜上所述，．