Question

已知數(shù)列中，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅲ）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）.
（Ⅱ）.
（Ⅲ）的最小值是.

解析試題分析：（Ⅰ），①
，②
①-②：，，        2分
即（），又=2，
時(shí)，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.
，故           4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí),,①
,②
①-②得，
= 
=
，又也滿足
               9分
（Ⅲ），由（Ⅰ）可知：
當(dāng)時(shí)，，令，
則，
又，∴
∴當(dāng)時(shí)，單增，∴的最小值是
而時(shí)，，綜上所述，的最小值是
∴，即的最小值是         13分
考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，“錯(cuò)位相減法”，不等式恒成立問題。
點(diǎn)評(píng)：難題，為確定等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，往往通過建立相關(guān)元素的方程組，而達(dá)到目的。數(shù)列的求和問題，往往涉及“公式法”“分組求和法”“裂項(xiàng)相消法”“錯(cuò)位相減法”等。涉及不等式恒成立問題，通過放縮、求和等，得到最值。