Question

【題目】已知.

（1）已知是導(dǎo)函數(shù)，求的極值；

（2）設(shè)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 極小值為 (2)

【解析】

（1）先求出，再利用導(dǎo)數(shù)求的極值；（2）先求出,再對a分a＞0，a=0，a＜0三種情況，根據(jù)函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)求出a的取值范圍.

解：（1）

①若，顯然所以在R上遞增，所以沒有極值.

②若，則，

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

所以在處取極小值，極小值為

（2）.函數(shù)的定義域?yàn)镽，

且.

①若，則.

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

所以.

令，則.

顯然，所以在上是減函數(shù).

又函數(shù)在上是減函數(shù)，取實(shí)數(shù)，

則

又在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

由零點(diǎn)存在性定理，在，上各有一個(gè)唯一的零點(diǎn)．所以符合題意．

②若，則，顯然僅有一個(gè)零點(diǎn)1，所以不符合題意.

③若，則.

（i）若，則，此時(shí)，

即在R上遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，

所以不符合題意，

（ii）若，則，函數(shù)在上是增函數(shù)，

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以在處取得極大值，且極大值，

所以最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以不符合題意．

（iii）若，則，函數(shù)在和上遞增，在上遞減，所以在處取得極大值，且極大值為，所以最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以不符合題意.

綜上所述，a的取值范圍是