Question

已知圓的方程是x²+y²=2,直線y=x+b,當(dāng)b為何值時(shí),圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn),只有一個(gè)公共點(diǎn),沒(méi)有公共點(diǎn).

Answer 1

解法一:若直線l:y=x+b和圓x²+y²=2有兩個(gè)公共點(diǎn),只有一個(gè)公共點(diǎn),沒(méi)有公共點(diǎn),

則方程組有兩個(gè)不同解,有兩個(gè)相同解,沒(méi)有實(shí)數(shù)解.

方程組消去y,得2x²+2bx+b²-2=0.

所以Δ=(2b)²-4×2(b²-2)=16-4b².

所以當(dāng)Δ=16-4b²＞0,即-2＜b＜2時(shí),圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn);

當(dāng)Δ=16-4b²=0,即b=±2時(shí),圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn);

當(dāng)Δ=16-4b²＜0,即b＞2或b＜-2時(shí),圓與直線沒(méi)有公共點(diǎn).

解法二:圓x²+y²=2的圓心C的坐標(biāo)為(0,0),半徑長(zhǎng)為,圓心C到直線l:y=x+b的距離d=.

當(dāng)d＞r時(shí),即＞,即|b|＞2,即b＞2或b＜-2時(shí),圓與直線沒(méi)有公共點(diǎn);

當(dāng)d=r時(shí),即=,即|b|=2,即b=±2時(shí),圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn);

當(dāng)d＜r時(shí),即＜,即|b|＜2,即-2＜b＜2時(shí),圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn).

點(diǎn)評(píng):由于圓的特殊性判斷圓與直線的位置關(guān)系,多采用判斷圓心到直線的距離與半徑的大小之間的關(guān)系;而以后我們將要學(xué)習(xí)的圓錐曲線與直線位置關(guān)系的判斷,則需要利用方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷.