Question

已知二次函數(shù)，關(guān)于x的不等式的解集為，其中m為非零常數(shù).設(shè).
(1)求a的值；
(2)如何取值時(shí)，函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
(3)若m=1，且x>0，求證：

Answer 1

（1）（2）當(dāng)時(shí)，取任何實(shí)數(shù), 函數(shù)有極小值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn).…9分
(其中, )（3）見(jiàn)解析

（1）解：∵關(guān)于的不等式的解集為，
即不等式的解集為，
∴.
∴.
∴.
∴.
(2)解法1:由(1)得.
∴的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040825150535.png" style="vertical-align:middle;" />.
∴. ………3分
方程（*）的判別式
.………4分
①當(dāng)時(shí)，，方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為
 ………5分
則時(shí)，；時(shí)，.
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
∴函數(shù)有極小值點(diǎn). ………6分
②當(dāng)時(shí)，由,得或，
若，則
故時(shí)，，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.
∴函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn).………7分
若時(shí)，
則時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
∴函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn). ………8分
綜上所述, 當(dāng)時(shí)，取任意實(shí)數(shù), 函數(shù)有極小值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn).…9分
(其中, )
解法2:由(1)得.
∴的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824040825150535.png" style="vertical-align:middle;" />.
∴. ………3分
若函數(shù)存在極值點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，且
至少有一個(gè)零點(diǎn)在上. ………4分
令,
得, (*)
則,(**)…………5分
方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為, .
設(shè),
①若,則,得,此時(shí),取任意實(shí)數(shù), (**)成立.
則時(shí)，；時(shí)，.
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
∴函數(shù)有極小值點(diǎn). ………6分
②若,則得
又由(**)解得或,
故.………7分
則時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
∴函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn). ………8分
綜上所述, 當(dāng)時(shí)，取任何實(shí)數(shù), 函數(shù)有極小值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn).…9分
(其中, )
（3）∵， ∴.
∴ 

. ………10分
令，
則
.
∵，
∴…11分
12分


.………13分
∴，即. ……………14分
證法2：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.
① 當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不等式成立；
………10分
②假設(shè)當(dāng)N時(shí)，不等式成立，即，
則

………11分
 ………12分
. ………13分
也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，不等式也成立.
由①②可得，對(duì)N，都成立. …14分