Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當時, 恒成立,求的取值范；

(2)若函數(shù)有兩個極值點,且,求證: .

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】分析：(1) )當時, 恒成立即求 的最小值大于等于零即可求出求的取值范圍；(2)，令,對a分類討論，只有時滿足題意，易知在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增， ，構造新函數(shù)研究最值即可.

詳解：（1）【解法一】

，

設

①時，在上單調遞減，

，不合題意，舍；

②當時，

（i）若，即時，當在上單調遞增，，符合題意；

（ii）若，即時，當時，單調遞減：當時，，單調遞增；

，不合題意，舍；

綜上：；

【解法二】

若,而,不合題意,故；

易知: ,,

設，，

若,即時, 在上單調遞增,

,在上單調遞增,

,符合題意；

若,即時, 在上是單調遞增函數(shù)，

令,記，當時, ，

在上是單調遞減函數(shù),

,在上是單調遞減函數(shù)，

,不合題意:

綜上: ；

(2)【解法一】

, ，

設,

若,,

在上單調遞增,不合題意:當時, ，

在上只有一個根,不合題意:

當時, ,要使方程有兩個實根，

只需即，

，，

在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增；

在處取得極大值,在處取得極小值,符合題意；

設，， ，

在上是增函數(shù),

.

【解法二】

， ，

設,

若，，

在上單調遞增,不合題意；

當時, ,

在上只有一個根,不合題意；

當時, ,要使方程有兩個實根,

只需，即

，，，

在上單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增；

在處取最大值，在處取最小值，符合題意；

，

設，則，，

設 ， ，

在單調遞增，

.