【題目】已知橢圓
：
的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為
的等腰直角三角形，
為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)
在橢圓上，點(diǎn)
在直線
上，且
，求證：
為定值；
（3）設(shè)點(diǎn)
在橢圓上運(yùn)動(dòng)，
，且點(diǎn)到直線
的距離為常數(shù)
，求動(dòng)點(diǎn)
的軌跡方程．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
（3）
【解析】
（1）由橢圓的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為2的等腰直角三角形，求出
，
，由此能求出橢圓
的方程．
（2）設(shè)
，
，則
的方程
，由
，得
，
，由此能證明
為定值
．
（3）設(shè)
，，
，由
，得，又
點(diǎn)在橢圓上，得：
，從而
，
，由此能求出
點(diǎn)軌跡方程．
解：（1）
橢圓
的右焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為2的等腰直角三角形，
為坐標(biāo)原點(diǎn)，
，
，
橢圓的方程為．
證明：（2）設(shè)，，則的方程，
由，得，，
，
為定值．
解：（3）設(shè)，，，由，得，①
又點(diǎn)在橢圓上，得：，②
聯(lián)立①②，得：，，③
由，得
，
，
，
化簡(jiǎn)，得點(diǎn)軌跡方程為：．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】給出定理：在圓錐曲線中，
是拋物線
的一條弦，
是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于
軸的直線與拋物線的交點(diǎn)為
.若
兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值
，則
的面積
，試運(yùn)用上述定理求解以下各題：
（1）若
，所在直線的方程為
，是的中點(diǎn)，過(guò)且平行于軸的直線與拋物線
的交點(diǎn)為，求
；
（2）已知是拋物線的一條弦，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)為，
分別為
和
的中點(diǎn)，過(guò)且平行于軸的直線與拋物線分別交于點(diǎn)
，若兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，求
和
；
（3）請(qǐng)你在上述問(wèn)題的啟發(fā)下，設(shè)計(jì)一種方法求拋物線：
與弦圍成成的“弓形”的面積，并求出相應(yīng)面積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】定義域是
上的連續(xù)函數(shù)
圖像的兩個(gè)端點(diǎn)為
、
，
是圖像上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)
作垂直于
軸的直線
交線段
于點(diǎn)
（點(diǎn)與點(diǎn)可以重合），我們稱(chēng)
的最大值為該函數(shù)的“曲徑”，下列定義域是
上的函數(shù)中，曲徑最小的是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在正方體
中，點(diǎn)
在線段
上移動(dòng)，有下列判斷：①平面
平面
；②平面
平面；③三棱錐
的體積不變；④
平面．其中，正確的是______．（把所有正確的判斷的序號(hào)都填上）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】定義在
上的函數(shù)
，如果對(duì)任意
，恒有
成立，則稱(chēng)為
階縮放函數(shù)．
（1）已知函數(shù)為二階縮放函數(shù)，且當(dāng)
時(shí)，
，求
的值；
（2）已知函數(shù)為二階縮放函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，
，求證：函數(shù)
在
上無(wú)零點(diǎn)；
（3）已知函數(shù)為階縮放函數(shù)，且當(dāng)
時(shí)， 的取值范圍是
，求在
上的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如果實(shí)系數(shù)
、
、
和
、
、
都是非零常數(shù)．
（1）設(shè)不等式
和
的解集分別是
、
，試問(wèn)
是
的什么條件？并說(shuō)明理由．
（2）在實(shí)數(shù)集中，方程
和
的解集分別為和，試問(wèn)是的什么條件？并說(shuō)明理由．
（3）在復(fù)數(shù)集中，方程和的解集分別為和，證明：是的充要條件．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，曲線
由兩個(gè)橢圓
：
和橢圓
：
組成，當(dāng)
成等比數(shù)列時(shí)，稱(chēng)曲線為“貓眼曲線”.
（1）若貓眼曲線過(guò)點(diǎn)
，且的公比為
，求貓眼曲線的方程；
（2）對(duì)于題（1）中的求貓眼曲線，任作斜率為
且不過(guò)原點(diǎn)的直線與該曲線相交，交橢圓所得弦的中點(diǎn)為M，交橢圓所得弦的中點(diǎn)為N，求證：
為與
無(wú)關(guān)的定值；
（3）若斜率為
的直線
為橢圓的切線，且交橢圓于點(diǎn)
，
為橢圓上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），求
面積的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.其中
是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）求函數(shù)
在點(diǎn)
處的切線方程；
（2）若不等式
對(duì)任意的
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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