Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時，討論的零點(diǎn)個數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ) 求出，分三種情況討論，分別令 得增區(qū)間， 得減區(qū)間；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知在上遞增， 上遞減， 上遞增，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，可判定函數(shù)在， ， 上各有一個零點(diǎn)，即可得結(jié)果.

試題解析：(Ⅰ) .

①當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，

當(dāng)時， .當(dāng)時， .∴在遞增

②當(dāng)時，令，得，此時.

易知在遞增， 遞減， 遞增

③當(dāng)時， .易知在遞增， 遞減， 遞增

(Ⅱ)當(dāng)時，由(Ⅰ)知在上遞增， 上遞減， 上遞增，

且，將代入，

得

∵，∴.

下面證明 當(dāng)時存在，使.

首先，由不等式，∴，∴，∴.

考慮到，

∴

.

再令，可解出一個根為，

∵，∴，∴，就取.

則有.由零點(diǎn)存在定理及函數(shù)在上的單調(diào)性，可知在上有唯一的一個零點(diǎn).

由，及的單調(diào)性，可知在上有唯一零點(diǎn).

下面證明在上，存在，使，就取，則，

∴，

由不等式，則，即.

根據(jù)零點(diǎn)存在定理及函數(shù)單調(diào)性知在上有一個零點(diǎn).

綜上可知， 當(dāng)時，共有3個零點(diǎn).

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、以及零點(diǎn)存在性定理，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間.