Question

已知f(x)=ax³+bx²+cx(a≠0)在x=±1時取得極值,且f(1)=-1,

(1)試求常數(shù)a、b、c的值;

(2)試判斷x=±1是函數(shù)的極小值點還是極大值點,并說明理由.

Answer 1

解:(1)f′(x)=3ax²+2bx+c,由f′(1)=f′(-1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.

又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.聯(lián)立，解得a=,b=0,c=-.

(2)由（1）知，f(x)= x³-x,

∴f′(x)= x²-=(x-1)(x+1).

當x＜-1或x＞1時,f′(x)＞0;當-1＜x＜1時,f′(x)＜0.

∴函數(shù)f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上為增函數(shù),在(-1,1)上為減函數(shù).

∴當x=-1時,函數(shù)取得極大值f(-1)=1，x=-1為極大值點;當x=1時,函數(shù)取得極小值f(1)=-1，x=1為極小值點.

綠色通道:

本題從逆向思維的角度出發(fā),根據(jù)題設結構進行逆向聯(lián)想,合理地實現(xiàn)了問題的轉化,使抽象問題具體化,在轉化的過程中充分把握了解題的大方向.