Question

_21.我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，，.

如圖，設(shè)點(diǎn)，，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，，和，是“果圓” 與，軸的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn).

（1）若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；

（2）設(shè)是“果圓”的半橢圓上任意一點(diǎn).求證：當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處；

（3）若是“果圓”上任意一點(diǎn)，求取得最小值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo).

Answer 1

解：（1） ，

，

于是，

所求“果圓”方程為，. 

（2）設(shè)，則

，

， 的最小值只能在或處取到.

即當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處.                   

（3），且和同時(shí)位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可.             

.

當(dāng)，即時(shí)，的最小值在時(shí)取到，

此時(shí)的橫坐標(biāo)是.                                       

當(dāng)，即時(shí)，由于在時(shí)是遞減的，的最小值在時(shí)取到，此時(shí)的橫坐標(biāo)是.                               

綜上所述，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；若，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或.