Question

【題目】如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，且，是邊長為的正三角形，且平面平面，已知點是的中點.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連結(jié)交于，連結(jié)，由中位線定理可得，根據(jù)線面平行的判定定理可得平面；（2）取中點，連結(jié)，則平面，由，即可求出三棱錐的體積.

試題解析：（Ⅰ）連結(jié)交于，連結(jié)，

因為為菱形，，所以，

由直線不在平面內(nèi)，平面，

所以平面.

（Ⅱ）取的中點，連接，則，且.

因為平面平面，所以平面.

所以，

又是中點，所以.

所以 .

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.